Hal tersebut termasuk dalam kompleksitas perhitungan sebuah algoritma. Sebuah analisis waktu yang diinginkan untuk menyelesaikan sebuah permasalahan pada ukuran tertentu termasuk dalam kompleksitas waktu sebuah algoritma.

Sebuah analisis memori yang diinginkan termasuk dalam kompleksitas ruang pada algoritma. Pertimbangannya waktu dan ruang pada sebuah algoritma adalah penting ketika sebuah algoritma akan diimplementasikan.

Jelas sekali penting untuk diketahui ketika sebuah algoritma menghasilkan jawaban dalam microsecond, menit, atau jutaan tahun. Demikian juga, memori yang diinginkan harus tersedia untuk menyelesaikan permasalahan, sehingga kompleksitas ruang harus dapat digunakan.

Dari kompleksitas algoritma ada 2 hal yang dapat dijadikan parameteruntuk melihat sejauh mana algoritma yang di buat memiliki keunggulan, di antaranya:

1. Algoritma mudah untuk dipahami, dikodekan, dan di –debug.
2. Sejauh mana algoritma yang dibuat memiliki efisiensi dalam penggunaan sumber daya computer, khususnya berkaitan dengan kecepatan eksekusi yang memungkinkan.

Running Time program bergantung pada beberapa factor :
1. Input dari program
2. Kualitas kompilasi kode program dari kompilator yang digunakan pada saat membuat sebuah objek program
3. Kecepatan indtruksi yang diberikan mesin untuk mengeksekusi program
4. Kompleksitas waktu algoritm dari suatu program.

Sumber Algoritma dan Pemrograman oleh Fajar Junaedi EP

Loop while dan repeat biasanya lebih sulit untuk dianalisis daripada loop for karena tidak ada langkah pasti untuk mengetahui berapa banyak waktu akan dipunyai untuk dilalui loop. Teknik standar unuk menganalisis loop tersebuta adalah dengan menemukan fungsi pada variable yang terlibat mana yang mengurangi nilai setiap waktu. Untuk mengakhiri loop, tunjukkan bahwa suatu nilai harus bilangan integer positif.

Akan diperhatikan pencarian biner yang selanjutnya akan dianalisis oleh loop while. Tujuan pencarian biner adalah menemukan elemen x pada array T [1-n] mempunyai urutan tetap.

Asumsi untuk mempermudah bahwa x adalah jaminan terlihat minimal sekali pada pertengahan T. Pencarian berakhir jika x = y, ini dapat dibatasi untuk setengah batas atas pada array jika x > y, sebaliknya, ini tidak cukup untuk pencarian setengan batas bawah.

Function Binary_search (T(1..n),x]

I  1 ; j  n
While I < j do
T [i] <= x < = T[j]
K  (I + j) /2
Case x < T [k] : j  k-1
X = T [k] : I,j  k {return k}
X < T [k] : I  k +1
Return i
Endwhile
Endfunction

Mengingat kembali analisis Running Time pada loop while, harus menemukan fungsi pada variable yang terlibat mana yang mengurangi nilai setiap waktu pada loop.

Kasus ini umumnya menganggap j-I +1, dimana akan disebut d. maka, d menggambarkan bilangan pada elemen T yang masih di bawah pertimbangan pengulangan sebuah loop.

Awalnya d = n, loop berakhir ketika i<= j, dimana ekivalen pada d <= 1. Pada kenyataannya, d atak pernah lebih kecil dari pada 1.

Setiap waktu dalam perputaran loop, akan terjadi tiga kemungkinan :
1. Tiap J adalah himpunan pada k – 1
2. I adalah himpunan pada k + 1
3. Keduanya I dan J adalah himpunan K

Sumber Algoritma dan Pemrograman oleh Fajar Junaedi EP

Function Fibrec (n)
If n < 2 then
Return n
Else
Return Fiberc (n-1) + Fiberc (n-2)
Endif
Endfunction

T (n) adalah waktu yang diperlukan untuk memanggil fibrec (n)

Jika n < 2, algoritma dengan sederhana kembali ke n, yang memberikan waktu suatu konstanta a.

Sebaliknya, sebagian besar pekerjaan yang dipakai adalah memanggil dua rekursi, dimana waktunya berturut – turut T(n-1) dan T (n-2). Selain itu, satu penambahan melibatkan fn – 1 dan fn – 2 harus dilakukan, dan juga control pada rekursi dan test “if n < 2”.

Diberikan h (n) untuk menunjukkan kerja yang dilibatkan pada penambahan tersebut dan control bahwa waktu yang dibutuhkan untuk memanggil fiberc (n) diabaikan waktu yang di pakai untuk memanggil di dalam dua rekursi.

Dari definisi T(n) dan h(n) diperoleh rekurensi :

T(n) = T (n-1) + T (n-2) + h (n)

Sumber Algoritma dan Pemrograman oleh Fajar Juanedi

For I  1 to m do
P (i)
Endfor

Misalkan loop tersebut bagian dari sebuah algoritma yang besar, bekerja dengan ukuran kejadian n.

Kasus termudah adalah ketika waktu yang dibutuhkan oleh P (i) tidak bergantung pada I, meskipun dapat bergantung pada ukuran kejadian atau secara umum pada kejadiannya sendiri.

Diberikan t yangmerupakan waktu yang dibutuhkan untuk menghitung P(i).

Pada kasusu ini, jelas bahwa pada loop P (i) digunakan m kali, setiap waktu berharga t, dan total waktu yang dibutuhkan oleh loop adalah I = mt.

Meskipun biasanya pendekatan ini kurang memadai, terdapat kesukaran yang tersembunyi, karena tidak dapat diuraikan waktu yang dibutuhkan untuk loop control. Loop for adalah yang terpendek dibandingkan dengan loop while.

I  1
While I <= m do
P (i)
I  I + 1
Endwhile

Pada banyak keadaan, jumlah yang wajar suatu harga unit tes I < m adalah instruksi I  1 dan I  I +1, dan operasi berantai (go to) sudah teramsuk loop while.

Sumber Algoritma dan Pemrograman oleh Fajar Junaedi EP

Efisiensi algoritma dapat ditentukan dengan 2 parameter :
1. Waktu eksekusi algoritma
2. Jumlah langkah algoritma

Waktu sangat sulit untuk menjadi parameter efisiensi atau tidaknya sebuah algoritma dikarenakan kecepatan prosesor yang sangat berbeda. Sebuah algoritma dieksekusi dalam computer dengan prosesor PIV.

Parameter baku yang dapat digunakan sebagai parameter ukur efisiensi ialah jumlah langkah. Ini karena jumlah langkah algoritma yang sama, meskipun dieksekusi dalam computer dengan kecepatan yang berbeda, tentu sama meskipunakan menghasilkan jumlah waktu yang berbeda.

Analisis Struktur Kontrol

Analisis algoritma biasanya meneruskan dari bagian dalam. Pertama, menetapkan waktu yang diperlukan oleh intruksi tunggal ( sering kali di batasi oleh konstanta ), kemudian mengabungkan waktu tersebut berdasarkan struktur control dan mengabungkan intruksi – intruksi pada program.

Barisan (Sequencing)

Diberikan p dan P adalah dua penggalan pada sebuah algoritma. Mungkin merupakan instruksi tunggal atau subalgoritma yang rumit susunannya. Diberikan t dan T adalah waktu yang berturut – turut dimiliki oleh p dan P. Waktu tersebut akan tergantung pada bermacam – macam parameter, seperti ukuran kejadian.

Aturan sequencing dikatakan membutuhkan waktu untuk menghitung “p dan P”, maka pertama p dan selanjutnya P , secara sederhana t + T. Dengan menggunakan aturan maksimum (maximum rule), waktu tersebut adalah O (max (t, T)).

Sumber Algoritma dan Pemrograman oleh Fajar Junaedi EP

Suatu algoritma terdiri dari tiga struktur logika, yaitu :
1. Struktur berurutan
2. Struktur seleksi
3. Struktur perulangan atau iterasi

Aturan Umum Analisis Algoritma

Secara umum, running time pada sebuah statemen atau kelompok statemen mungkin teraparameterisasi dengan ukuran input dan atau dengan banyak variable. Parameter yang diperbolehkan untuk Running Time pada keseluruhan program adalah n ukuran input. Aturan umum untuk analisis algoritma sebagai berikut :

1. Running Time setiap assignment (tugas, baca (read) dan statemen write) besarnya dapat diambil O(1).
2. Running time pada barisan statemen deitentukan dengan aturan penjumlahan yaitu bahwa Running Time pada barisan tidak melebihi dari sebuah factor konstan yagn merupakan Running Time terbesar pada beberapa statemen barisan.
3. Running Time pada statemen if adalah harga pada kondisi statemen eksekusi. Waktu menghitung kondisi secara normal adalah O (1). Waktu if-then-else adalah waktu menghitung kondisi ditambah waktu terbesar yang dibutuhkan untuk statemen eksekusu jika kondisinya false (salah).
4. Waktu eksekusi adalah jumlah semua waktu sekitar loop, waktu eksekusi sekumpulan statemen, dan waktu mengevaluasi kondisi untuk penghentian (biasanya yang terakhir adalah O (1)).

Untuk selanjutnya f (x) desebut pula dengan T (n) atau Running Time.

Sumber Algoritma dan Pemrograman oleh Fajar Junaedi EP

Notasi Big – O
Fungsi pertumbuhan sering kali di deskripsikan dengan sebuah notasi khusus.

Definisi 2
Diberikan f dan g suatu fungsi dari himpunan bilangan integer atau himpunan bilangan real pada suatu himpunan bilangan real. Dikatakan f(x) adalah O (g(x)), jika terdapat sebuah konstanta C dan K sedemikian sehingga :
|f(x)| k, dibaca f(x) adalah Big – O pada g (x).

Penjelasan :
Untuk menunjukan f (x) adalah O(g(x)), hanya perlu menemukan satu pasangan konstanta C dan k sedemikian sehingga | f (x) | k. Pasangan C,k yang memenuhi definisi tidak pernah tunggal. Selanjutnya, jika satu pasangan ada, maka terdapat tak terbatas pasangan yang lain. Cara sederhana untuk melihat hal tersebut adalah, jika C, k adalah satu pasangan, pasangan yang lain C’, k’ dengan C < C’ dan k < k’ juga akan memenuhi definisi, jika :

| f (x) | k’ > k.

Kombinasi Fungsi Pertumbuhan
Banyak algoritma dibuat pada dua atau lebih subprosedur. Jumlah langkah yang digunakan computer untuk menyelesaikan sebuah permasalahan dengan input tertentu pasa sebuah algoritma adalah jumlah setiap langkah yang digunakan subprosedur tersebut. Untuk mendapatkan estimasi Big – O pada jumlah langkah yang dibutuhkan, sangat perlu untuk menemukan estimasi Big – O pada jumlah langkah yagn digunakan pada setiap subprosedur dan selanjutnya mengkombinasi estimasi tersebut.

Teorema 2
Diberikan f (x) adalah O(g(x)), maka (f (x) + F (x)) (x) adalah O(max (g (x), G(x))). Selanjutnya dapat juga disebut sebagai maximum rule.

Teorema 3
Diberikan f (x) adalah O(g(x)) dan F(x) adalah O(G(x)). Maka (f, F) (x) adalah O (g (x), G(x)).
Tujuan menggunakan notasi Big – O pada fungsi estimasi adalah untuk memilih sebuah fungsi g (x) pada pertumbuhan relative terendah dengan f (x) adalah O(g(x)).

Sumber Algoritma dan Pemrograman oleh Fajar Junaedi EP

Definisi 1
Algoritma adalah prosedur terbatas untuk menyelesaikan sebuah permasalahan dengan langkah yang terbatas. Istilah algoritma pertama kali digunakan oleh Al – Khowarizmi, matematikawan Arab abad ke – 19, dalam bukunya kitab Al – Jabr W’al Muquabala.

Terdapat sebuah algoritma untuk mencari pembagi bersama terbesar yang dikenal dengan algoritma Euclids. Missal :
Diberikan dua integer positif m dan n, untuk menemukan pembagi bersama terbesar yang dapat membagi m dengan n.

E1. [ Temukan sisa ]. Bagi m dan n dan berikan r sebagai sisa pembagian (dalam hal ini 0 <= r < n).
E2. [ Apakah sisa 0 ]. Jika r = 0, algoritma berakhir, n sebagai jawaban.
E3. [ Menukar tempat ]. M  n, nr, dan kembali ke langkah E1.

Algoritma didefinisikan sebagai prosedur terbatas untuk menyesaikan sebuah permasalahan dengan langkah terbatas dalam waktu terbatas.

Beberapa sifat umum algoritma :
1. Input
2. Output
3. Definiteness
4. Finiteness
5. Effectiveness

Input
Suatu algoritma dapat mempunyai nol atau banyak input, yaitu kuantitas, dimana diberikan niali awal sebelum algoritma di mulai. Input diperoleh dari himpunan objek yang telah ditetapkan. Dalam algoritma Euclids, terdapat 2 nilai input yang diberi nama m dan n, dimana keduanya diambil adari himpunan integer positif.

Output
Dari setiap nilai input pada algoritma pasti menghasilkan nilai output dari himpunan yang dispesifikasikan. Nilai output adalah penyelesaian dari permasalahan. Suatu algoritma dapat mempunyai satu atau banyak output. Algoritma Euclids mempunyai satu output, dinamakan n pada langkah E2, yang merupakan pembagi bersama terbesar dari dua input. Output merupakan informasi yang dihasilkan.

Definiteness
Langkah – langkah sebuah algoritma harus didefinisikan dengan tepat, tindakan penyelesaian harus ditetapkan dengan tepat dan jelas untuk setiap kasus. Dan algoritma Euclids, pembacaan input mengenai arti pembagian m dan n dan sisanya diperjelas dan mudah dimengerti.
Finiteness
Sebuah algoritma seharusnay menghasilkan output yang diinginkan setelah akhir dari langkah untuk sembarang himpunan input. Algoritma Euclids meyakinkan kondisi ini, karena setelkah langkah E1 nilai r lebih kecil dari pada n, sehingga jika r = 0, nilai n berkurang untuk waktu selanjutnya bahwa langkah E1 ditemukan.

Effectiveness
Algoritma harus memungkinkan setiap langkahnya dilakukan pada sebuah algoritma yang sebenarnya dan mempunyai jumlah waktu yang terbatas. Artinya, semua operasi yang dilakukan dalam algoritma adalah operasi dasar. Algoritma Euclids hanya diguanakan untuk operasi pembagian satu integer positif dengan yang lain, penguji if sebuah integer nol dan letak nilai pada satu variable sama dengan pada yang lain.

Sumber Algoritma dan Pemrograman oleh Fajar Junaedi EP

Diberikan a dan b integer non negative. Sebuah pembagi bilangan bulat bersama t pada a dan b, yaitu sebuah integer t sedemikian bahwa t|a dan t|b memenuhi ketidaksamaan :

-|a| <= t <= |a|
-|b| <= t <= |b|

Karena itu himpunan T pada pembagi bilangan bulat bersama adalah finite. Karena 1 dalam T, ada satu integer positif terkecil dalam T. Dengan mengkuti dua pernyataan terakhir bahwa ada integer positif terbesar dalam T, jika c adalah sebuah integer tidak nol, integer positif terbesar d sedemikian sehingga d | c dan d | 0 adalah d = |c|.

Definisi 4 (Pembagi Bersama Terbesar)
Diberikan a dan b integer, keduanya tidak nol. Sedemikian sehingga d | a dan d | b disebut pembagi bersama terbesar (ged) pada a dan b dan dinotasikan dengan ged (a,b). maka ged (0,0) = 0.

Definisi 5 (Integer Relative Prime)
Jika ged (r,s) = 1, integer r dan s adalah relative prime atau coprime.

Linear Congruential Generator
Sebagian besar pembangkitan bilangan random yang digunakan adalah Linear Congruential Generator (LCG), sebuah barisan integer Z1, Z2.

Definisikan dengan formula rekursif :
Zi = (aZi-1+c) (mod m)

Dimana m adalah modulus, a pengali, c pertambahan, dan Z0 benih atau nilai awal. Maka persamaan tersebut dikatakan menghasilkan Zi, pembagian a Zi + c dengan m dan diberikan Zi adalah sisa dari pembagian. Oleh karena itu, 0< Zi < m-1, dan menghasilkan bilangan random yang dikehendaki Ui untuk i = 1,2, … pada [0,1], dan diberikan Ui = Zi | m.

Sumber Algoritma dan Pemrograman oleh Fajar Junaedi EP

Perkalian pada integer positif adalah sebuah bentuk penjumlahan. Ilustrasi, 4 . 5 mungkin dapat dianggap sebagai : 5 + 5 + 5 + 5 atau 4+4+4+4+4.

Dengan cara yang sama, pembagian pada integer positif daapt diselesaikan dengan pengulangan pengurangan. Jadi, pengujian apakan 8 adalah sebuah integer pembagi pada 48 atau bukan dilakukan dengan berkali – kali mengurangi dengan 8 dan melihat apakah 0 dihasilkan setelah beberapa langkah.

Dalam kasus ini, 0 dihasilkan setelah 6 kali pengurangan 8 dari 48, karena 48 = 6 . 8 atau 6+6+6+6+6+6+6+6 dan 8 | 48.

Jika dimulai dengan 53 dan 48, sebuah sisa positif yaitu kurang dari 8 dicapai setelah 6 kali pengurangan 8, dan diperoleh bahwa 53 = 6 . 8 + 5. Selanjutnya, jika dikurangi lagi dengan 8 dengan diperoleh hasil negative, bukan 0. Oleh sebab itu, 8 bukan pembagi 53 dalam Z.

Teorema 1 (algoritma pembagian)
Jika a dan d adalah bilangan integer dan b adalah bilangan positif, maka ada integer q dan r sedemikian sehingga :

a = q b + r, 0 <= r < b

Sehingga b | a jika dan hanya jika r = 0. Maka, q adalah quotient dan r adalah sisa pembagian a dengan b.

Akibat Teorema 1
Extended Division Algorithm atau perluasan algoritma pembagian, jika a dan c dalam Z dan c = 0, maka ada q dan r dalam Z sedemikian hingga :

A = qc + r dan 0 <= r < |c|.

Akibat ini dibuktikan dengan mengambil b = |c| dan kemudian memakai teorema. Diberikan m sebuah integer positif tetap. Maka teorema1 (teorema pembagian) menyatakan bahwa setiap integer a adalah satu bentuk pada :

qm, qm+1, qm+2,…,qm+(m-1), dengan q integer, yaitu setiap integer tepat satu pada himpunan.

mZ, 1 + mZ, 2 + mZ,…., (m-1) mZ.

Jika m = 2, statemen ini menjadi pernyataan yang sudah lazim bahwa setiap integer dalam himpunan 2Z = {…., -4, -2, 0, 2, 4,…} pada integer genap atau dalam himpunan 1+2Z = {…, -3, -1, 1, 3, 5, …} pada integer ganjil, tetapi tidak dalam keduanya. Dengan m = 3, diperoleh penyataan bahwa setiap integer secara tetap terdapat dalam satu dai himpunan – himpunan 3Z, 1+3Z, 2+3Z.

Definisi 3 (kesamaan integer)
Diberikan a dan c integer. Maka a dan c mempunyai kesamaan jika keduanya genap atau keduanya ganjil. Jika satu dari integer ini genap dan lainnya ganjil, maka dikatakan mempunyai kesamaan yang berlawanan (opposite parity).

Jadi, 15 dan 17 mempunyai kesamaan karena keduanya ganjil. Demikian juga, -4 dan 6 mempunyai kesamaan karena keduanya genap. Tetapi 6 dan 15 mempunyai kesamaan yang berlawanan.

Notasi 1 (Congruence Module M)
Diberikan a, c, dan m integer dengan m positif. Maka notasi a = c (mod m) mempunyai arti bahwa a dan c mempunyai sisa yang sama jika du=ibagi m . “a=c (mod m)” dibaca sebagai a kongruen dengan c modul m. hubungan ini disebut kongruen dan m disebut modulus pada kongruen.

Teorema 2 (Two Ways of Showing Remaiders)
Diberikan a, c, dan m integer dengan m positif. Maka, a=c (mod m) jika hanya jika jika m | (a-c).

Teorema 3 (clousure under subtraction)
Diberikan S sebuah himpunan integer tertutup di bawah pengurangan, maka :
a. Jika S tidak kosong, 0 dalam S
b. Jika a dalam S, -a juga dalam S
c. Jika a dan b dalam S dan q adalah sebuah integer, a-qb dalam S.
d. S terdiri atas semua perkalian bilangan bulat pada beberapa t dalam Z atau s adalah kosong.
e. Jika pada integer positif terkecil dalam S, yaitu S = tZ.

Sumber Algoritma dan Pemrograman oleh Fajar Junaedi EP